Como provar matematicamente que um bêbado sempre consegue voltar para casa

O Dul7, o CEO modafoca do Papo de Bêbado, talvez não saiba disso, mas há uma maneira matemática de provar que um bêbado sempre consegue voltar para casa sozinho, desde que tenha condições de caminhar.

Para provar este fato (ou pelo menos dar bons argumentos de que ele é verdadeiro), utilizarei Cadeias de Markov, um conceito matemático introduzido no século XX pelo probabilista russo Andrey Markov.

As Cadeias de Markov possuem uma propriedade simples. Para saber a probabilidade de uma variável aleatória mudar para o estado seguinte, basta que conheçamos seu estado atual. Os estados anteriores podem ser ignorados. Parece complicado, mas a partir do próximo parágrafo, esta ideia se tornará mais fácil de ser entendida.

Mas antes de atacar o problema do bêbado, vou apresentar um conceito mais simples, que depois será estendido para resolver o problema desejado.

O conceito que desejo apresentar é o de Cadeia de Markov. Vou começar pelo exemplo mais simples existente: o passeio aleatório em uma dimensão. Nele, dado que uma partícula está na posição in, a chance dela ir para a posição in+1 é p, enquanto a chance dela ir para in-1 é 1-p.

Matematicamente, podemos expressar isto como
e
Assim, o passeio aleatório é dado pela soma destas posições no tempo, ou seja,


Se pensarmos em p=0.5, o passeio aleatório nada mais é do que jogar uma moeda honesta e caminhar na direção que ela indica. Por exemplo, suponha que cara indica um passo para frente e coroa, um passo para trás.

Note que, ao jogar uma moeda algumas dezenas de vezes, não é difícil perceber que o número de caras e de coroas se equivalem. Assim, alguém que começa a se movimentar de acordo com a suposição do parágrafo anterior, invariavelmente voltará ao ponto de partida, inclusive se o espaço disponível para caminhar for infinito.

Oito exemplos de passeio aleatório. Note que a maioria, mesmo em apenas 100 passos, acaba voltando à origem (altura zero).

Mas perceba que construí meu argumento em cima de apenas uma dimensão. Extrapolando esta mesma ideia para duas dimensões, onde podemos usar um dado de quatro lados para caminhar (o popular tetraedro), teremos o mesmo resultado.

Portanto, um bêbado, caminhando aleatoriamente, acabará voltando para casa, desde que tenha tempo suficiente para isso e que se movimente de maneira discreta, apenas indo para frente/trás e para a esquerda/direita.

Um efeito semelhante ocorre no movimento browniano, observado pelo primeira vez em um microscópio, devido ao movimento errático que uma partícula de pólen faz sobre a água parada.
Apesar de parecer semelhante, este problema não tem relação nenhuma com o fato de chimpanzés conseguirem escrever as obras completas de Shakespeare.

Fato interessante: esta característica descrita aqui, a de uma partícula sempre voltar para o ponto de partida, só funciona se as o passeio aleatório for em uma ou duas dimensões. Em 1921, o matemático húngaro George Pólya provou que para dimensões maiores ou iguais a 3, este fato não é verdade. Por exemplo, a probabilidade de um passeio aleatório em 3 dimensões voltar para a origem é de apenas 34%. Assim, concluímos que o homem bêbado sempre volta para casa, mas o passarinho bêbado, que se movimenta em três dimensões (pois pode voar), pode acabar não voltando para seu ninho.